面试题10_1的扩展题(牛客网的变态跳台阶问题)

  • 题目：
    • 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
  • 思路：
    • 引用两个牛客网上的高赞思路：

第一个：

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

…

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3）n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶， 那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出： f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

        | 1       ,(n=0 )

f(n) =  | 1       ,(n=1 )

        | 2*f(n-1),(n>=2)

第二种：每个台阶可以看作一块木板，让青蛙跳上去，n个台阶就有n块木板，最后一块木板是青蛙到达的位子，必须存在，其他 (n-1) 块木板可以任意选择是否存在，则每个木板有存在和不存在两种选择，(n-1) 块木板 就有 [2^(n-1)] 种跳法，可以直接得到结果。

其实我们所要求的序列为：0,1,2,4,8,16,……所以除了第一位外，其他位的数都是前一位的数去乘以2所得到的积。

/**
 * @Author GJ1e
 * @Create 2019/10/15
 * @Time 20:59
 *
 */
public class Solution10_2 {

    //递归
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }

    //调用pow函数来做
    public int JumpFloorII02(int target) {
        if (target <= 0)
            return 0;

        return (int)Math.pow(2,target-1);
    }

    //找规律
    public int JumpFloorII03(int target) {
        if (target<=0)
            return 0;
        else if (target==1)
            return 1;

        int jumpOne = 1;
        int jumpN = 0;

        for (int i = 2; i <= target; i++) {
            jumpN = 2 * jumpOne;
            jumpOne = jumpN;

        }
        return jumpN;
    }
}

三种方法的代码都已AC